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        幾何證明選講

        知識點總結

        知識點總結

                本節主要包括平行切割定理、直角三角形射影定理、圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理、相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理等知識點。

                1、平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等。

        推理1:經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。

        推理2:經過梯形一腰的中點,且與底邊平行的直線平分另一腰。

                2、平分線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例。

                    推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例。

                3、相似三角形的判定:

                定義:對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應邊的比值叫做相似比(或相似系數)。

                由于從定義出發判斷兩個三角形是否相似,需考慮6個元素,即三組對應角是否分別相等,三組對應邊是否分別成比例,顯然比較麻煩。所以我們曾經給出過如下幾個判定兩個三角形:

                相似的簡單方法:

              (1)兩角對應相等,兩三角形相似;

              (2)兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似;

              (3)三邊對應成比例,兩三角形相似。

                預備定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與三角形相似。

                判定定理1:對于任意兩個三角形,如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似。簡述為:兩角對應相等,兩三角形相似。

                判定定理2:對于任意兩個三角形,如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似。簡述為:兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似。

                判定定理3:對于任意兩個三角形,如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例,那么這兩個三角形相似。簡述為:三邊對應成比例,兩三角形相似。

                引理:如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊。

                定理:(1)如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等,那么它們相似;

                            (2)如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例,那么它們相似。

                定理:如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和直角邊對應成比例,那么這兩個直角三角形相似。

                相似三角形的性質:

               (1)相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應平分線的比都等于相似比;

               (2)相似三角形周長的比等于相似比;

               (3)相似三角形面積的比等于相似比的平方。

                相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比,外接圓的面積比等于相似比的平方。

               4、直角三角形的射影定理:直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項;兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。

              5、圓周角定理

                   圓周角定理:圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。

                  圓心角定理:圓心角的度數等于它所對弧的度數。

                  推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等。

                  推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑。

                  6、圓內接四邊形的性質與判定定理

                  定理1:圓的內接四邊形的對角互補。

                  定理2:圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角。

                  圓內接四邊形判定定理:如果一個四邊形的對角互補,那么這個四邊形的四個頂點共圓。

                 推論:如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角,那么這個四邊形的四個頂點共圓。圓的切線的性質及判定定理。

                  7、切線的性質定理:圓的切線垂直于經過切點的半徑。

                推論1:經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點。

               推論2:經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。

                切線的判定定理:經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。弦切角的性質

                 8、弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。與圓有關的比例線段

                9、相交弦定理:圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等。

              10、割線定理:從園外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

               11、切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

               12、切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

        常見考法

        本節在段考和高考中,是以填空題的形式出現,屬于選做題。一般屬于容易題。

        誤區提醒

        在利用相似三角形解答時,注意通過對應邊找對應角,通過對應角找對應邊,不要找錯了。

        【典型例題】

        例1  如圖,△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E.

         

        例2 如圖,ABCD是圓的兩條平行弦,BEAC,并交CDE,交圓于F,過A點的切線交DC的延長線于PPCED=1,PA=2.

        (1)求AC的長;

        (2)求證:EFBE.

        知識點精練

        更多練習>>
        練習題一 難易度:易

        在Rt△ABC,∠BAC=90°,AD⊥BC,AB=10,BD=6,則BC的值為(  )
A.                   B.2            C.              D.

        練習題二 難易度:中

        如圖,AD,AE,BC分別與圓O切于點D,E,F,延長AF與圓O交于另一點G.給出下列三個結論:①AD+AE=AB+BC+CA;②AF?AG=AD?AE;③ ,其中正確結論的序號是(    )
 
A.①②                      B.②③
C.①③                      D.①②③

        練習題三 難易度:難

        幾何證明選講

        [高三數學]已解答
        • 提問學生:滴水藏海
        • 題型:解答題
        • 德智幣:6.0德智幣
        • 提問時間:2017-07-17 12:09

        不知道解題思路

        問題癥結:對于這個問題,找不到突破口,請老師幫我梳理思路,詳細解答一下

        割線定理與對稱性

        [高三數學]已解答
        • 提問學生:7547409...
        • 題型:解答題
        • 德智幣:6.0德智幣
        • 提問時間:2015-07-18 20:10
        •  

        解析

        解析中切割定理指的是什么

        問題癥結:對于這個問題,找不到突破口,請老師幫我梳理思路,詳細解答一下

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