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        等腰三角形與直角三角形

        知識點總結

        知識點總結

        一、等腰三角形的有關概念

              同樣,我們可以得到等腰三角形的判定定理:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”).也就是說,如果一個三角形中有兩個角相等,那么它就是等腰三角形.

        三、等邊三角形的有關概念及判定方法

              1.定義:三邊都相等的三角形叫做等邊三角形. 等邊三角形是特殊的等腰三角形.

              2.性質:具有等腰三角形的所有性質,等邊三角形的三個內角都相等,并且每一個角都等于60°;等邊三角形是軸對稱圖形,有三條對稱軸.

              3.判定方法

            (1)三條邊都相等三角形是等邊三角形;

            (2)三個角都相等三角形是等邊三角形;

            (3)有兩個角為60°的三角形是等邊三角形;

            (4)有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.

        四、等腰三角形全等的判定方法

              一般的全等三角形的判定方法都適用于等腰三角形的判定,只不過在判定兩個等腰三角形全等時,要注意它們的底角相等以及腰相等.

        五、直角三角形的概念與性質

              1.直角三角形的判定:(1)有一個角是直角的三角形是直角三角形;(2)有一邊上的中線是這邊的一半的三角形是直角三角.

              2.直角三角形的性質:(1)直角三角形的兩個銳角互余;(2)在直角三角形中, 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半;(3)在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊長的一半.

              注意:要證明一個三角形中兩邊的二倍關系,常常聯想到30º角的直角三角形.

        六、等腰直角三角形的概念與性質

              1.定義:頂點是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.

              2.性質:等腰直角三角形的兩個底角都是45°;等腰直角三角形的頂角的平分線或斜邊上的中線或斜邊上的高都分原等腰直角三角形為兩個小的等腰直角三角形.

        七、直角三角形全等的判定方法

              對于一般三角形來說,“邊邊角”是無法保證兩個三角形全等,但是在兩個直角三角形中,當斜邊和一直角邊分別對應相等時,也就是“邊邊角”,是可以保證兩個直角三角形全等.因此直角三角形全等的判別方法主要有以下兩類:

              (3)有些三角形本身在其它條件中隱含直角三角形這個條件,首先將直角這一條件明確后才能應用“HL”判定其全等.

              (4)在全等三角形的判定中不存在“SSA”,“HL”不能說成“SSA”,由于HL必須在三角形是直角三角形的前提下才能應用,即不僅是兩邊及一邊的對角相等,而且此角還必須是直角,這兩個三角形才全等.

                2.一般方法在判別直角三角形全等中的應用

                直角三角形是三角形的一種特殊情形,所以,一般三角形的性質它都具有,因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”,“SSS”來判別直角三角形全等,因為已有兩個直角相等的條件,所以只需找另兩個條件即可,但這兩個條件中必須有一邊對應相等.具體可以歸納如下:

              (1)確定兩直角邊對應相等;

              (2)確定一個銳角和一斜邊對應相等;

              (3)確定一個銳角和一直角邊對應相等.

        常見考法

              等腰三角形和直角三角形是所有三角形中比較特殊且又十分美觀的幾何圖形,由于它有許多特殊的特征,所以它們是研究幾何圖形的基礎,在我們的日常生活中也有廣泛地應用.在中考中命題者也十分的青睞,一般是必考題,所以同學們對本考點要多用心,在選擇題、填空題以及在解答題中都會有所體現,分值一般固定在10分左右.

              在復習本考點時要注意通過觀察、實驗、操作等活動和對等腰三角形的軸對稱性分析,發現和歸納等腰三角形的基本性質,再嘗試采用演繹推理方法進行證實;掌握等腰(等邊)三角形的性質和判定(等腰三角形的性質指"等邊對等角"、"等角對等邊"、"三線合一"等);通過對平行線和等腰三角形的有關定理的分析,理解逆命題與逆定理.掌握判定兩個直角三角形全等的特殊方法;掌握直角三角形的有關性質和判定.在勾股定理及其逆定理的學習中,通過充分展開定理導出的過程和揭示它在度量幾何中的作用,進一步理解形數之間的聯系.會用等腰三角形的判定定理和性質定理證明簡單的幾何問題.

        誤區提醒

              在計算等腰三角形的邊角問題時,一定要注意利用分類思想進行討論,由于考慮不全面導致答案漏解現象發生;如:錯誤判斷腰和底,錯誤判斷頂角和底角等.對于直角三角形的判定我們要記住“HL”這個特殊的判定方法的應用,不要寫作“SSA”.

        典型例題】已知等腰三角形的一個角為75°,則其頂角為(     )

        A.30°  B.75°   C.105°   D.30°或75°

        病情:因為等腰三角形的一個角為75°,所以頂角為75°,故應選B.

        診斷:對于一個等腰三角形,當條件中沒有確定頂角或底角時,應注意分情況討論,以確定已知角是頂角還是底角,再運用三角形內角和定理求解.

        確診:忽略了分類討論,求角度時出現漏解.

        治療:因為等腰三角形的一個角是75°,所以這個角可能是頂角,也可能是底角.

        當75°是等腰三角形的底角時,則頂角的度數=180°-75°×2=30°;

        當75°是等腰三角形的頂角時,則頂角的度數就等于75°.

        所以這個等腰三角形的頂角為30°或75°.

        故選D.

        知識點精練

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        練習題一 難易度:易
        練習題二 難易度:中
        練習題三 難易度:難

        銳角三角形函數

        [初三數學]已解答
        • 提問學生:twilight
        • 題型:解答題
        • 德智幣:19.0德智幣
        • 提問時間:2014-02-22 12:43

        在△ABC中,AB=AC,AB=13,BC=10,BD⊥AC與D

        (1)求sinC的值

        (2)求sin角CBD的值

        問題癥結:對于這個問題,找不到突破口,請老師幫我梳理思路,詳細解答一下

        證明二,三角形問題

        [初三數學]已解答
        • 提問學生:yinyin
        • 題型:解答題
        • 德智幣:5.0德智幣
        • 提問時間:2013-08-10 21:53
        在三角形abc中ab=bc,角b=120度,ab的垂直平分線交ac與點d。若ac=6,ad=?
        問題癥結:對于這個問題,找不到突破口,請老師幫我梳理思路,詳細解答一下

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